三角形全等的判定（全等三角形的判定公理）

提要

全等是用于证明线段相等，角相等的重要方法，是今后证明几何问题的重要工具。在证明三角形全等时应先找出已知条件和图形中的隐含条件，再结合全等的判定方法确定需要转化得到的条件，同时要注意“SSA”不能证明两个三角形全等。

知识全解

一．全等三角形的定义和性质

（1）定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形

（2）性质：全等三角形的对应边，对应角相等。

提示：

（1）记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上

（2）对应边和对应角的确定通常有以下几种方法

①　全等三角形对应相等的角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边

②　全等三角形对应相等的边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角

③　两个全等三角形有公共边的，公共边一定是对应边

④　两个全等三角形有公共角的，公共角一定是对应角

⑤　两个全等三角形有对顶角的，对顶角一定是对应角

⑥　两个全等三角形中一对最长的边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）

二．全等三角形的判定

（1）SSS：三边对应相等的两个三角形全等

（2）SAS：两边夹角对应相等的两个三角形全等

（3）ASA：两角夹边对应相等的两个三角形全等

（4）AAS：两角一对边对应相等的两个三角形全等

（5）HL：斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等

提示：

（1）“SSA”不能证明三角形全等

（2）从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充地边（角），有目标地完善三角形全等的条件。从而得到判定两个三角形全等的思路有以下几种

方法点拨

类型1 根据性质计算

例1 如下图，△ABC≌△ADE，∠EAB=125度，求∠BFD的度数

【分析】根据全等三角形的性质求出∠EAD=∠CAB，∠B=∠D，求出∠EAC=∠DAB=50度，根据三角形内角和定理求出∠BFD=∠DAB，带入求出即可

【解答】∵∠ABC≌△ADE

∴∠EAD=∠CAB，∠B=∠D

∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD

∴∠EAC=∠DAB

∵∠EAB=125度,∠CAD=25度

∴∠DAB=∠EAC=1/2 × (125-25)=50度

∵∠B=∠D，∠FGD=∠BGA，∠D+∠BFD+∠FGD=180度，∠B+∠DAB+∠AGB=180度

∴∠BFD=∠DAB=50度

【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质求出∠EAD=∠CAB，∠B=∠D是解此题的关键。

类型2 探索三角形全等的条件

例2 如下图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使∠AOB≌∠DOC，你补充的条件是___（填出一个条件即可）

【分析】要使△AOB≌△DOC，已有条件∠A=∠D，隐含条件∠AOB∠=COD，不可能再找角相等，只要找三条边中的任意一条即可，故本题答案不唯一，如AB=CD，OA=OD或OB=OC。

【解答】答案不唯一，如AB=CD，OA=OD或OB=OC。

【点评】这是一道开放性试题，处理这类问题的一般思路是先找出已知条件，再根据结论的需要加以分析，补充所需的条件，答案往往不唯一。

类型3 证明三角形全等

例3 如图所示，已知∠ACB=90度，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CD于点D，CE与AB相交于点F，求证：△CEB≌△ADC

【分析】首先根据垂直定义可得∠E=∠ADC=90度，再根据余角的性质可得∠BCE=∠CAD，然后利用AAS定理判定△CEB≌△ADC即可

【解答】∵BE⊥CE于点E，AD⊥CD于点D

∴∠E=∠ADC=90度

∵ACB=90度

∴∠BCE=90-∠ACD

又∠CAD=90-∠ACD

∴∠BCE=∠CAD

在△CEB与△ADC中

∠E=∠ADC

∠BCE=∠CAD

BC=CA

∴△CEB≌△ADC (AAS)

【点评】此题主要考查了三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后根据三角形全等的判定方法，查看缺什么条件，再去证明该条件。