有理数有无数个

无理数也有无数个

那谁更多？还是一样多？

无穷与无穷，是否可以比出谁多谁少？

数轴上的点对应有理数或无理数？

那有理数和无理数又是如何在数轴上分布？

NO.1如何比较无穷

当我们比较有限的数量时，只要比较具体的数字谁大即可。鸡有两条腿，兔有四条腿，所以兔子腿更多。有理数有无数个，无理数也有无数个，或许我们可以认为是都是无数个，都是数不完的，那就一样多呗，但实际上无限也可以分出大小，因为比较有限数量的方法并不能用于无穷的情况。

如何比较无穷？

所有的正数和负数一样多。

在正数集里任取一个正数，在负数集合里都能找到唯一确定的一个负数与其相对应，比如正数集中取1，负数集里会有-1，正数集里取π，负数集里会有-π，有一个正数，就会有一个相应的负数。

我们可以在正数集和负数集间建立一种一一对应的关系。所以正数与负数是一样多。

同样的道理，我们可以得出奇数和偶数是一样多的。

任取一个奇数2n-1，都会有一个偶数2n与其相对应，同样我们可以在奇数集和偶数集之间建立这种一一对应的关系，所以奇数和偶数也是一样多的。

我们把集合里元素的数量称为集合的基数，比如集合{1}的基数为1，集合{1,2}的基数为2。

判断无穷集合基数相等的方法便是：能够两个集合之间建立起一种一一对应的关系。

NO.2整体可以等于部分

如果关于无穷的比较都像上面那么简单就好了，接下来我们继续看。

所有的偶数和所有的整数一样多。

What？偶数不是和奇数一样多吗？奇数和偶数一起构成了整数，偶数怎么和整数也一样多了？

整数集合里任取一整数n，在偶数集合里都会有一个数2n与其相对应，所以我们依然可以在整数集和偶数集之间建立起一一对应的关系，在偶数集里任取一个偶数，在整数集里都会有一个唯一确定的元素与其相对应。

整体等于部分！这是我们在有限里不可能存在的情况，但在无穷集合里，却真真实实地发生了。

如果对于数没感觉我们再来看个图形的例子，在△ABC中，假定BC边为2，DE是BC边所对的中位线，所以DE=1，在BC边上任取点M，连接AM，则AM必与DE有一交点，记为N。任取一个M点都会有一个N点与其相对应。

这说明：长度为2的线段上的点与长度为1的线段上的点是一样多的！！！

格奥尔格·康托尔甚至以此作为无穷集合的定义：如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应的关系，它就是无穷集合。

了解了无穷这一性质，那我们得出这么一个结论：自然数、偶数、整数都是一样多的。或许你会质疑既然他们都无穷，那就数量都一样呗，还需要讨论这么多嘛？

需要，之所以说这几个集合基数相等，是因为它们还有一个共同的特点：可数。

所谓可数，可以理解为能够找到一种规则把所有的数列出来，然后就可以按着这个顺序一直数下去。

比如自然数，0,1,2,3,4,5……，比如偶数，0,2-2,4-4,6-6……而只要能全部列出来，就可以建立一一对应的关系，依次按顺序对应就好了，甚至都不用弄明白具体的规则是什么，所以只要是可数无穷，就可以说集合里元素数量是一样多的。

NO.3有理数可数吗？

可数

有理数可以表示为q/p的形式，取正有理数部分，我们可以按p+q的值由小到大来列出所有正有理数，具体的顺序可以参照下图。

按上述规则，可列出所有正有理数，负有理数亦可以列出来。

所以有理数集也是可数集。

补充一下可数集概念：能与自然数集建立一一对应关系的集合。

可数集的基数是最小的无穷量，康托尔把这个量记为ℵ0（希伯来文，读作“阿列夫零”）。同时康托尔指出，阿列夫零是最小的无穷量，那比阿列夫零更大的无穷在哪呢？

NO.4上场吧！无理数

无理数可数吗？或者说实数可数吗？

答案是：NO

康托尔运用对角线法来论证这一点，证明过程很短，却堪称精妙绝伦！（妈妈问我为何跪下看书系列）

考虑整个实数集是否可数，我们先考虑0-1之间的所有实数是否可数。假设存在某种规则能够列出0-1之间的所有实数：

0.1598545445……

0.6589745454……

0.5968974132……

0.9887946456……

0.3521587487……

0.1659842412……

……

以上的数随便写的，此时康托尔问，0.267865……在什么位置？

这个数是怎么取的呢？取第一个数的第一位小数加1，取第二个数的第二位小数加1，取第三个数的第三位小数加1，取第四个数的第四位小数加1……，也就是上面数中红色的数字加1。

假如0.267865……在第n个位置上，则它的第n位小数应该等于第n个数（也就是它自身）的第n位小数加1。

简单说，这个数的第n位小数等于它本身第n位小数加1。显然这是不可能存在的！

所以不存在任何一种方法能够把0-1之间所有的实数全部列举出来，当然也不可能存在一种方法能够把全体实力列出来。

像这样的无穷称为不可数无穷，不管你承认还是不承认，同样是无穷，也能分出不同种类。无理数集、实数集称为不可数集。

在数轴上任取一段线段，由这些连续着的点构成的集合均为不可数集，又称连续统。基数记为c。

NO.5 c=ℵ1

既然已经明确了有理数代表着可数无穷，而无理数则代表着不可数无穷，那可数与不可数到底谁更多呢？换句话说，ℵ0与c谁更大呢？

事实上，从概率的角度来看，在数轴上任取一点，取到有理数的概率为0。

无理数是无限不循环小数，有理数包含整数、有限小数和无限循环小数，我们可以把整数和有限小数看成后面的小数位均为0的数，举个例子，1.8=1.800000……，后面的小数位都是0。

现在我们给一个数填充小数位，有无数个小数位需要我们填充，而填充的数字都是随机取的，所以说都取0或者说取到一列循环数的概率为0。借助于这样一个想法，无理数不仅比有理数多，而且多得多！

怎么样能够比无穷还要多？

对于集合{1}，它有两个子集：空集、{1}，子集组成的集合的基数为2^1；对于集合{1,2}，它有四个子集空集、{1}、{2}、{1，2}，子集组成的集合的基数为2^2，以此类推，若一个集合的基础为n，则其子集构成的幂集基数是2^n。

那如果原集合的基数是ℵ0呢？

事实上，康托尔已经证明出，c=2^ℵ0，这里的ℵ0是无穷大的，所以能想象c有多大吗？

康托尔所做的事情不止于此，他还猜想，在ℵ0和c之间不存在其他的无穷，即在ℵ0后的下一个无穷量便是c，即c=ℵ1（ℵ1即ℵ0后一个无穷量），这就是著名的“连续统假说”。1900年世界数学家大会上，希尔伯特把这个问题排在了20世纪23大有待解决的重要数学问题之首。

NO.6 数轴上见分晓！

关于数轴，我们都知道数轴上的点与实数是一一对应的，或许会存在这样的想法，任意两个有理数之间还存在无数个有理数，此外有理数与有理数之间还会有缝隙，那便是无理数，这个缝隙有多少并不为我们所知，但两有理数之间还存在着无数个有理数是必然的。

所以有人会说有理数像砖，构成了数轴的主体，无理数像是胶水，把砖与砖之间的缝隙补充完整，构成一条完整的数轴。

从两者的数量对比来看，显然以上的想法大错特错，无理数更像是构成数轴的砖，占据着数轴的绝大部分。说来说去其实就是这么一个问题：有理数和无理数在数轴上是如何分布的？

借用一下狄利克雷函数：

这就是把有理数与无理数作个分离，那函数图像长啥样？也许是这样？

显然这只能是一种美好的想象，要是能画出来就好了，我就知道有理数和无理数如何分布了。真实存在却画不出来说得就是这个函数，数轴上见不了分晓。

NO.7 可数无穷的可加性

说了老半天可数与不可数，却连数轴上的都无法作划分，区别这两个无穷又有什么意义？

有些时候是得区分一下的，比如在解释什么叫长度的时候。

线段由点构成，那为什么点的长度为0而线段长度却不为0？

造成这一误解的主要原因是我们错误地以为既然线段由点构成，那线段的长度就等于点的长度之和。即不断地计算0+0+0+0+……，按这么算结果应该始终为0才对。

怎么去计算0+0+0+0+……？先用第一个0加第二个0，再用结果加第三个0，一直这么加下去，以上计算的前提是这里所涉及的无穷必须是可数无穷，只有能先够把它们都先列出来，才能依次进行相加，先有可数才有可加。

然而问题是，线段上的点是可数无穷吗？不，它们是不可数无穷，是不能够列举出的，所以0+0+0+……的结果与线段的长度没有半毛钱关系，因为它们本来就不存在因果关系。

谢谢阅读。